Ich habe einen China-Türinnengriff montiert. Die gibt es für kleines Geld auch auf Amazon / eBay. Zum Wechsel muss natürlich die Türpappe runter und Du musst den alten Griff vorsichtig rausbohren. Der neue kommt mit Schrauben.
Anders als das Original ist es Plastik, ohne diese Gummierung, die sich bei Dir löst. Optisch fällt es nicht auf. Schlecht fühlt es sich auch nicht an, jedenfalls besser als die klebrige Masse. Vielleicht etwas glatter, aber im Alltag merkt man es nicht.
Eine andere Methode ist es die Gummierung zu entfernen. Dann bleibt das glatte Plastik übrig. Damit würde ich anfangen und schauen ob Du damit zufrieden bist. Aber Du brauchst viel Geduld. Lösemittel (z.B. Isopropanol und Wegwerf-Mikrofassertücher helfen).